南京亚博体育赌波:高中数学之函数与方程应用


来源:南师大亚博体育赌波吧 日期:2014年07月08日 点击:2004次 分类教学资源 上一篇南京亚博体育赌波:高中数学之函数... 下一篇南京师范大学亚博体育赌波:高中数...

函数与方程应用例谈


函数与方程思想是中学数学中一种较常用、较重要的数学思想,就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题:二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.函数与方程思想的考查,是历年高考的重点内容之一. 下面举例说明这一思想方法的应用。

一、用于求值

例1.设x、y∈R,且x3+3x2+4x=2,y3+3y2+4y=-6,求x+y的值。

解:由条件可得(x+1)3+(x+1)=4, (y+1)3+(y+1)=-4

∴设f(x)=x3+x,则f(x)为奇函数且在R上递增

∵f(x+1)=-f(y+1)=f(-1-y)

∴x+1= -1-yx+y= -2

二、用于求较值

例2.求函数在[0,2]上的较大值和较小值.

解: ??

化简为 ?解得

当单调增加;当单调减少.

所以为函数的*大值.

又因为 ??

所以 ? 为函数在[0,2]上的较小值,为函数在[0,2]上的较大值.

说明:对于非整数函数的较值求解问题,一般借助导数。

三、用于解不等式

例3.已知:在上是减函数,解关于的不等式 ? ?

解:由,得.

? ? ? 在上是减函数, ?,这等价于,

,解之得

? ? 故不等式的解为

四、构造函数用于求解范围

例4.对于满足0≤p≤4的一切实数,不等式x2+px>4x+p-3恒成立,试求x的取值范围

解:把p看作自变量,x视为参数,构造函数y=(x-1)p+(x2-4x+3)。

令f(p)=(x-1)p+(x2-4x+3).函数f(p)的图象是一条线段,要使f(p)>0恒成立,当且仅当f(0)>0,且f(4)>0,解不等式组解得x的取值范围是(-∞,-1)∪(3,+∞).

五、求解参数

例5.已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件:

f(x-1)=f(3-x)且方程f(x)=2x有等根.

? ?(1)求f(x)的解析式;

? ?(2)是否存在实数m,n(m<>

解:(1)∵方程ax2+bx-2x=0有等根,∴△=(b-2)2=0,得b=2.

由f(x-1)=f(3-x)知此函数图像的对称轴方程为x=-=1,得a=-1,

故f(x)=-x2+2x.

(2)∵f(x)=-(x-1)2+1≤1,∴4n≤1,即n≤.

而抛物线y=-x2+2x的对称轴为x=1,∴当n≤时,f(x)在[m,n]上为增函数.

若满足题设条件的m,n存在,则

即又m<>

∴m=-2,n=0,这时,定义域为[-2,0],值域为[-8,0].

由以上知满足条件的m,n存在,m=-2,n=0.

总之,在函数的学习和复习中,要做到熟练掌握基础知识,充分理解各知识点间的内在联系。要善于总结、归纳运用函数的观点和方法解决常见数学问题的解题规律。在解题中,充分、合理地运用函数与方程的思想方法,会产生意想不到的效果。


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