南京师范大学亚博体育赌波:高中数学之函数解析式的求法(二)


来源:南师大亚博体育赌波吧 日期:2014年07月08日 点击:2122次 分类教学资源 上一篇南京师范大学亚博体育赌波:高中数... 下一篇南京师范大学亚博体育赌波:高中数...

3. 待定系数法

所谓待定系数法,就是只要清楚所求函数解析式的类型或清楚所解答的问题的目标,便可设出其函数解析式或表达出目标的数学关系式,只要想法确定其系数满足的关系即可求出结果.

? 例3.设二次函数f(x)满足且图象在y轴上的截距为1,被x轴截得的线段长为求f(x)的解析式.

? ? 分析:处理确定函数的问题常常设出此函数后用待定系数求出即可.

解法一:设?

由得,

化简得: ,∵此式对任意x都成立,∴

设方程的两根为x1,x2,则

由已知c=1,故可得,

解法二:由知f(x)的图象关于x=-2对称,故可设函数表达式为

(余略).

小结:待定系数法是非常基础的数学方法,同学们要好好掌握.解答中可以看到充分挖掘题目的隐含条件,充分应用图形的直观性,是简化运算的有效手段.这里有两点要注意:

⑴有关多项式理论:anxn+an-1xn-1a1x+a0≡0an=0, an-1=0, …, a1=0, a0=0.

⑵设函数y=f(x) (x∈R),则y=f(x)的图象关于x=a对称

.

4. 利用函数的性质求解析式

例4.设是R上的奇函数,且当时,,求在R上的解析式.

分析: 时的解析式已经知道,只要求出时的解析式即可,从入手,再利用奇函数的性质就能得出答案.

解:当时有

设则从而有

∵是奇函数, ∴

因此所求函数在R上的解析式是



小结:在求函数的解析式时,应紧扣题目中的巳知条件,从要求的区间入手转化成已知区间上的函数解析式,再利用函数的性质实现转化.

5. 分段函数解析式的求法.

例5. 如图所示直线l⊥x轴,从原点开始向右平行移动到x=10处停止,它扫过△AOB所得图形的面积为y,它与x轴的交点为(x,0).求函数y=f(x)的解析式;


分析:根据直线l在不同的位置和图形的结构特征分类求出阴影部分的面积即可.

解:当0≤x≤4时,直线l扫过的图形具有相同的特征如图1,此时面积y=f(x)=;

当4≤x≤8时,直线l扫过的图形具有相同的特征如图2,此时面积

y=f(x)== ;当8≤x≤10时,直线l扫过的图形具有相同的特征如图3,此时面积y=f(x)= =16.

∴y=f(x)=

小结:根据图形的几何特征,找出运动过程中的分界点分类讨论是解答此问题的关键.

6. 抽象函数解析式的求法.

所谓抽象函数就是没有给出具体表达式的函数,处理这种函数的基本思想就是从取特殊值入手,去寻找适合所研究问题的特定值.

例6.设对任意实效x,y均有

求f(x)的表达式.

分析:研究抽象函数根本方法是“赋值”,灵活应用题目条件赋值转化.


解:令则设x为任意实数,

则有:

小结 : (1)所给函数方程含有两个变量时,可对这两个变量交替用特殊值代入,或使这两个变量相等代入,再用已知条件,可求出未知的函数,至于取什么特殊值,根据题目特征而定.

? ? (2)通过取某些特殊值代入题设中的等式.可使问题具体化、筒单化,从而顺利地找出规律,求出函数的解析式.


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